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LGV 引理

简介¶

Lindström–Gessel–Viennot lemma，即 LGV 引理，可以用来处理有向无环图上不相交路径计数等问题。

前置知识：图论相关概念中的基础部分、矩阵、高斯消元求行列式。

LGV 引理仅适用于 有向无环图 。

定义¶

表示这条路径上所有边的边权之积。（路径计数时，可以将边权都设为）（事实上，边权可以为生成函数）

表示到的 每一条 路径的之和，即。

起点集合，是有向无环图点集的一个子集，大小为。

终点集合，也是有向无环图点集的一个子集，大小也为。

一组的不相交路径：是一条从到的路径（是一个排列），对于任何，和没有公共顶点。

表示排列的逆序对个数。

引理¶

其中表示满足上文要求的的每一组不相交路径。

证明请参考维基百科。

例题¶

hdu5852 Intersection is not allowed!

题意：有一个的棋盘，一个棋子从只能走到或，有个棋子，一开始第个棋子放在，最终要到，路径要两两不相交，求方案数对取模。 , ，保证 , 。

观察到如果路径不相交就一定是到，因此 LGV 引理中一定有，不需要考虑符号问题。边权设为，直接套用引理即可。

从到的路径条数相当于从步中选步向下走，所以。

行列式可以使用高斯消元求。

复杂度为，其中是求逆元复杂度。

参考代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>

typedef long long ll;

const int K = 105;
const int N = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;

int T, n, k, a[K], b[K], fact[N << 1], m[K][K];

int qpow(int x, int y) {
  int out = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) out = (ll)out * x % mod;
    x = (ll)x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return out;
}
int c(int x, int y) {
  return (ll)fact[x] * qpow(fact[y], mod - 2) % mod *
         qpow(fact[x - y], mod - 2) % mod;
}
int main() {
  fact[0] = 1;
  for (int i = 1; i < N * 2; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;

  scanf("%d", &T);

  while (T--) {
    scanf("%d%d", &n, &k);

    for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%d", a + i);
    for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%d", b + i);

    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        if (a[i] <= b[j])
          m[i][j] = c(b[j] - a[i] + n - 1, n - 1);
        else
          m[i][j] = 0;
      }
    }

    for (int i = 1; i < k; ++i) {
      if (!m[i][i]) {
        for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
          if (m[j][i]) {
            std::swap(m[i], m[j]);
            break;
          }
        }
      }
      if (!m[i][i]) continue;
      for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
        if (!m[j][i]) continue;
        int mul = (ll)m[j][i] * qpow(m[i][i], mod - 2) % mod;
        for (int p = i; p <= k; ++p) {
          m[j][p] = (m[j][p] - (ll)m[i][p] * mul % mod + mod) % mod;
        }
      }
    }

    int ans = 1;

    for (int i = 1; i <= k; ++i) ans = (ll)ans * m[i][i] % mod;

    printf("%d\n", ans);
  }

  return 0;
}

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