生成函数简介

生成函数（generating function），又称母函数，是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

生成函数有许多不同的种类，但大多可以表示为单一的形式：

F(x)=\sum_n a_nk_n(x)

其中 k_n(x) 被称为核函数。不同的核函数会导出不同的生成函数，拥有不同的性质。举个例子：

  1. 普通生成函数： k_n(x)=x^n 。
  2. 指数生成函数： k_n(x)=\dfrac{x^n}{n!} 。
  3. 狄利克雷生成函数： k_n(x)=\dfrac{1}{n^x} 。

另外，对于生成函数 F(x) ，我们用 [k_n(x)]F(x) 来表示它的第 n 项的核函数对应的系数，也就是 a_n 。

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