Memorized Search

例题

在具体讲何为「记忆化搜索」前，先来看如下的例题：

NOIP 2005 采药

山洞里有 M 株不同的草药，采每一株都需要一些时间 t_i ，每一株也有它自身的价值 v_i 。给你一段时间 T ，在这段时间里，你可以采到一些草药。让采到的草药的总价值最大。

DFS 做法

注：为了节省篇幅，本文中所有代码省略头文件。

int n, t;
int tcost[103], mget[103];
int ans = 0;
void dfs(int pos, int tleft, int tans) {
  if (tleft < 0) return;
  if (pos == n + 1) {
    ans = max(ans, tans);
    return;
  }
  dfs(pos + 1, tleft, tans);
  dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos], tans + mget[pos]);
}
int main() {
  cin >> t >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
  dfs(1, t, 0);
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

这就是个十分朴素的大暴搜是吧……

emmmmmm…… 30 分。

优化一

然后我心血来潮，想不借助任何“外部变量”（就是 dfs 函数外且 值随 dfs 运行而改变的变量), 比如 ans

把 ans 删了之后就有一个问题：我们拿什么来记录答案？

答案很简单：

返回值！

此时 dfs(pos,tleft) 返回在时间 tleft 内采集 后 pos 个草药，能获得的最大收益

不理解就看看代码吧：

int n, time;
int tcost[103], mget[103];
int dfs(int pos, int tleft) {
  if (pos == n + 1) return 0;
  int dfs1, dfs2 = -INF;
  dfs1 = dfs(pos + 1, tleft);
  if (tleft >= tcost[pos]) dfs2 = dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos]) + mget[pos];
  return max(dfs1, dfs2);
}
int main() {
  cin >> time >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
  cout << dfs(1, time) << endl;
  return 0;
}

emmmmmm……还是 30 分。

但这个时候，dfs 函数已经不需要借助任何外部变量了。

优化二

然后我非常无聊，将所有 dfs 的返回值都记录下来，竟然发现……

对于相同的 pos 和 tleft，dfs 的返回值总是相同的！

想一想也不奇怪，因为我们的 dfs 没有依赖任何外部变量。

注：tcost、mget 这两个数组不算是外部变量，因为它们的值在 dfs 过程中不会被改变。

然后？

开个数组 mem, 记录下来每个 dfs(pos,tleft) 的返回值。刚开始把 mem 中每个值都设成 -1（代表没访问过）。每次刚刚进入一个 dfs 前（我们的 dfs 是递归调用的嘛），都判断 mem[pos][tleft] 是否为 -1, 如果是就正常执行并把答案记录到 mem 中，否则？

直接返回 mem 中的值！

int n, t;
int tcost[103], mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos, int tleft) {
  if (mem[pos][tleft] != -1) return mem[pos][tleft];
  if (pos == n + 1) return mem[pos][tleft] = 0;
  int dfs1, dfs2 = -INF;
  dfs1 = dfs(pos + 1, tleft);
  if (tleft >= tcost[pos]) dfs2 = dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos]) + mget[pos];
  return mem[pos][tleft] = max(dfs1, dfs2);
}
int main() {
  memset(mem, -1, sizeof(mem));
  cin >> t >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
  cout << dfs(1, t) << endl;
  return 0;
}

此时 mem 的意义与 dfs 相同：

在时间 tleft 内采集 后 pos 个草药，能获得的最大收益

这能 AC？

能。这就是“采药”那题的 AC 代码

这就是记忆化搜索。

总结

记忆化搜索的特征：

  • 不依赖任何 外部变量
  • 答案以返回值的形式存在，而不能以参数的形式存在（就是不能将 dfs 定义成 dfs(pos,tleft,nowans)，这里面的 nowans 不符合要求）。
  • 对于相同一组参数，dfs 返回值总是相同的

记忆化搜索与动态规划的关系：

有人会问：记忆化搜索难道不是搜索？

是搜索。但个人认为它更像 dp：

不信你看 mem 的意义：

在时间 tleft 内采集 后 pos 个草药，能获得的最大收益

这不就是 dp 的状态？

由上面的代码中可以看出：

\mathit{mem}_{\mathit{pos},\mathit{tleft} = \max\{mem_{\mathit{pos}+1},\mathit{tleft}-\mathit{tcost}(\mathit{pos})}+\mathit{mget}(\mathit{pos}),mem_{\mathit{pos}+1,\mathit{tleft}}\}

这不就是 dp 的状态转移？

个人认为：

记忆化搜索约等于动态规划，（印象中）任何一个 dp 方程都能转为记忆化搜索

大部分记忆化搜索的状态/转移方程与 dp 都一样，时间复杂度/空间复杂度与 不加优化的 dp 完全相同

比如：

\mathit{dp}(i,j,k) = \mathit{dp}(i+1,j+1,k-a_j) + \mathit{dp}(i+1,j,k)

转为

int dfs(int i, int j, int k) {
  // 判断边界条件
  if (mem[i][j][k] != -1) return mem[i][j][k];
  return mem[i][j][k] = dfs(i + 1, j + 1, k - a[j]) + dfs(i + 1, j, k);
}
int main() {
  memset(mem, -1, sizeof(mem));
  // 读入部分略去
  cout << dfs(1, 0, 0) << endl;
}

如何写记忆化搜索

方法一

  1. 把这道题的 dp 状态和方程写出来
  2. 根据它们写出 dfs 函数
  3. 添加记忆化数组

举例：

dp_{i} = max\{dp_{j}+1\}\quad (1 \leq j < i \land a_{j}<a_{i}) （最长上升子序列）

转为

int dfs(int i) {
  if (mem[i] != -1) return mem[i];
  int ret = 1;
  for (int j = 1; j < i; j++)
    if (a[j] < a[i]) ret = max(ret, dfs(j) + 1);
  return mem[i] = ret;
}
int main() {
  memset(mem, -1, sizeof(mem));
  // 读入部分略去
  cout << dfs(n) << endl;
}

方法二

  1. 写出这道题的暴搜程序（最好是 dfs)
  2. 将这个 dfs 改成“无需外部变量”的 dfs
  3. 添加记忆化数组

举例：本文最开始介绍“什么是记忆化搜索”时举的“采药”那题的例子

记忆化搜索的优缺点

优点：

  • 记忆化搜索可以避免搜到无用状态，特别是在有状态压缩时

举例：给你一个有向图（注意不是完全图），经过每条边都有花费，求从点 1 出发，经过每个点 恰好一次 后的最小花费（最后不用回到起点），保证路径存在。

dp 状态很显然：

设 \mathit{dp}_{\mathit{pos},\mathit{mask}} 表示身处在 \mathit{pos} 处，走过 \mathit{mask} （一个表示各个节点的访问情况的二进制数）中的顶点后的最小花费

常规 dp 的状态数为 O(n\cdot 2^n) ，转移复杂度（所有的加在一起）为 O(m)

但是！如果我们用记忆化搜索，就可以避免到很多无用的状态，比如 pos 为起点却已经经过了多于一个点的情况。

  • 不需要注意转移顺序（这里的“转移顺序”指正常 dp 中 for 循环的嵌套顺序以及循环变量是递增还是递减）

举例：用常规 dp 写“合并石子”需要先枚举区间长度然后枚举起点，但记忆化搜索直接枚举断点（就是枚举当前区间由哪两个区间合并而成）然后递归下去就行

  • 边界情况非常好处理，且能有效防止数组访问越界
  • 有些 dp（如区间 dp) 用记忆化搜索写很简单但正常 dp 很难
  • 记忆化搜索天生携带搜索天赋，可以使用技能“剪枝”！

缺点：

  • 致命伤：不能滚动数组！
  • 有些优化比较难加
  • 由于递归，有时效率较低但不至于 TLE（状压 dp 除外）

记忆化搜索的注意事项

  • 千万别忘了加记忆化！（别笑，认真的）
  • 边界条件要加在检查当前数组值是否为非法数值（防止越界）
  • 数组不要开小了

模板

int g[MAXN];
int f(状态参数) {
  if (g[规模] != 无效数值) return g[规模];
  if (终止条件) return 最小子问题解;
  g[规模] = f(缩小规模);
  return g[规模];
}
int main() {
  // ...
  memset(g, 无效数值, sizeof(g));
  // ...
}
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