多项式部分简介

Basic Concepts

多项式的度

对于一个多项式 f(x) ，称其最高次项的次数为该多项式的 度（Degree），记作 \operatorname{deg}{f} 。

多项式的乘法

最核心的操作是两个多项式的乘法，即给定多项式 f(x) 和 g(x) ：

f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\quad \quad (1)\\ g(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m\quad \quad (2)

要计算多项式 Q(x)=f(x)\cdot g(x) ：

\boxed {Q(x) = \sum \limits_ {i = 0} ^ n \sum \limits_ {j = 0 } ^ m a_i b_j x ^ {i + j}} = c_0 + c_1 x + \dots + c_ {n + m} x ^ {n + m}

上述过程可以通过快速傅里叶变换在 O(n\log n) 下计算。

多项式的逆元

对于多项式 f(x) ，若存在 g(x) 满足：

\begin{aligned} f(x) g(x) & \equiv 1 \pmod{x^{n}} \end{aligned}

则称 g(x) 为 f(x) 在模 x^{n} 意义下的 逆元（Inverse Element），记作 f^{-1}(x) 。若要求 \operatorname{deg}{g} < n ，则此时 g 唯一。

多项式的余数和商

对于多项式 f(x), g(x) ，存在 唯一 的 Q(x), R(x) 满足：

\begin{aligned} f(x) &= Q(x) g(x) + R(x) \\ \operatorname{deg}{R} &< \operatorname{deg}{g} \end{aligned}

当 \operatorname{deg}{f} \ge \operatorname{deg}{g} 时有 \operatorname{deg}{Q} = \operatorname{deg}{f} - \operatorname{deg}{g} ，否则有 Q(x) = 0 。 我们称 Q(x) 为 g(x) 除 f(x) 的 商（Quotient）， R(x) 为 g(x) 除 f(x) 的 余数（Remainder）。亦可记作

f(x) \equiv R(x) \pmod{g(x)}

多项式的对数函数与指数函数

对于一个多项式 f(x) ，可以将其对数函数看作其与麦克劳林级数的复合：

\ln{(1 - f(x))} = -\sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i}\\ \ln{(1 + f(x))} = \sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i - 1}f^{i}(x)}{i}

其指数函数同样可以这样定义：

\exp{f(x)} = e^{f(x)} = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i!}

多项式的多点求值和插值

多项式的多点求值（Multi-point evaluation） 即给出一个多项式 f(x) 和 n 个点 x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} ，求

f(x_{1}), f(x_{2}), \dots, f(x_{n})

多项式的插值（Interpolation） 即给出 n + 1 个点

(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})

求一个 n 次多项式 f(x) 使得这 n + 1 个点都在 f(x) 上。

这两种操作的实质就是将多项式在 系数表示 和 点值表示 间转化。

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