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随机函数

概述¶

要想使用随机化技巧，前提条件是能够快速生成随机数。本文将介绍生成随机数的常见方法。

随机数与伪随机数¶

说一个单独的数是“随机数”是无意义的，所以以下我们都默认讨论“随机数列”，即使提到“随机数”，指的也是“随机数列中的一个元素”。

现有的计算机的运算过程都是确定性的，因此，仅凭借算法来生成真正 不可预测、不可重复 的随机数列是不可能的。

然而在绝大部分情况下，我们都不需要如此强的随机性，而只需要所生成的数列在统计学上具有随机数列的种种特征（比如均匀分布、互相独立等等）。这样的数列即称为 伪随机数 序列。

随机数与伪随机数在实际生活和算法中的应用举例：

抽样调查时往往只需使用伪随机数。这是因为我们本就只关心统计特征。
网络安全中往往要用到（比刚刚提到的伪随机数）更强的随机数。这是因为攻击者可能会利用可预测性做文章。
OI/ICPC 中用到的随机算法，基本都只需要伪随机数。这是因为，这些算法往往是通过引入随机数来把概率引入复杂度分析，从而降低复杂度。这本质上依然只利用了随机数的统计特征。
某些随机算法（例如 Moser 算法）用到了随机数的熵相关的性质，因此必须使用真正的随机数。

实现¶

标准库实现¶

下面是 C++ 标准库里已有的一些随机函数实现。

rand¶

用于生成伪随机数，缺点是比较慢，使用时需要 #include<cstdlib>。

调用 rand() 函数会返回一个 [0,RAND_MAX] 中的随机非负整数，其中 RAND_MAX 是标准库中的一个宏，在 Linux 系统下 RAND_MAX 等于。可以用取模来限制所生成的数的大小。

使用 rand() 需要一个随机数种子，可以使用 srand(seed) 函数来将随机种子更改为 seed，当然不初始化也是可以的。

同一程序使用相同的 seed 两次运行，在同一机器、同一编译器下，随机出的结果将会是相同的。

有一个选择是使用当前系统时间来作为随机种子：srand(time(0))。

Warning

在 Windows 系统下 rand() 返回值的取值范围为（即 RAND_MAX 等于），当需要生成的数不小于时建议使用 (rand() << 15 | rand()) 来生成更大的随机数。

关于 rand() 和 rand()%n 的随机性：

C/C++ 标准并未关于 rand() 所生成随机数的任何方面的质量做任何规定。
GCC 编译器对 rand() 所采用的实现方式，保证了分布的均匀性等基本性质，但具有低位周期长度短等明显缺陷。（例如在笔者的机器上，rand()%2 所生成的序列的周期长约）
即使假设 rand() 是均匀随机的，rand()%n 也不能保证均匀性，因为 [0,n) 中的每个数在 0%n,1%n,...,RAND_MAX%n 中的出现次数可能不相同。

mt19937¶

是一个随机数生成器类，效用同 rand，随机数的范围同 unsigned int 类型的取值范围。

其优点是随机数质量高（一个表现为，出现循环的周期更长；其他方面也都至少不逊于 rand()），且速度比 rand() 快很多。使用时需要 #include<random>。

mt19937 基于 Mersenne Twister algorithm，使用时用其定义一个随机数生成器即可：std::mt19937 myrand(seed)，seed 可不填，不填 seed 则会使用默认随机种子。

mt19937 重载了 operator ()，需要生成随机数时调用 myrand() 即可返回一个随机数。

另一个类似的生成器是 mt19937_64，使用方式同 mt19937，但随机数范围扩大到了 unsigned long long 类型的取值范围。

示例¶

#include <ctime>
#include <iostream>
#include <random>

using namespace std;

int main() {
  mt19937 myrand(time(0));
  cout << myrand() << endl;
  return 0;
}

random_shuffle¶

用于随机打乱指定序列。使用时需要 #include<algorithm>。

使用时传入指定区间的首尾指针或迭代器（左闭右开）即可：std::random_shuffle(first, last) 或 std::random_shuffle(first, last, myrand)

内部使用的随机数生成器默认为 rand()。当然也可以传入自定义的随机数生成器。

关于 random_shuffle 的随机性：

C++ 标准中要求 random_shuffle 在所有可能的排列中 等概率 随机选取，但 GCC²编译器并未严格执行。
GCC 中 random_shuffle 随机性上的缺陷的原因之一，是因为它使用了 rand()%n 这样的写法。如先前所述，这样生成的不是均匀随机的整数。
原因之二，是因为 rand() 的值域有限。如果所传入的区间长度超过 RAND_MAX，将存在某些排列 不可能 被产生¹。

Warning

random_shuffle 已于 C++14 标准中被弃用，于 C++17 标准中被移除。

shuffle¶

效用同 random_shuffle。使用时需要 #include<algorithm>。

区别在于必须使用自定义的随机数生成器：std::shuffle(first, last, myrand)。

GCC²实现的 shuffle 符合 C++ 标准的要求，即在所有可能的排列中等概率随机选取。

下面是用 rand() 及 random_shuffle() 编写的一个数据生成器。生成数据为「ZJOI2012」灾难的随机小数据。

#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>

int a[100];

int main() {
  srand(time(0));
  int n = rand() % 99 + 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;
  std::cout << n << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::random_shuffle(a + 1, a + i);
    int cnt = rand() % i;
    for (int j = 1; j <= cnt; j++) std::cout << a[j] << ' ';
    std::cout << 0 << '\n';
  }
}

下面是用 mt19937 及 shuffle() 编写的同一个数据生成器。

#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <random>

int a[100];

int main() {
  std::mt19937 rng(time(0));
  int n = rng() % 99 + 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;
  std::cout << n << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::shuffle(a + 1, a + i, rng);
    int cnt = rng() % i;
    for (int j = 1; j <= cnt; j++) std::cout << a[j] << ' ';
    std::cout << 0 << '\n';
  }
}

非确定随机数的均匀分布整数随机数生成器¶

random_device 是一个基于硬件的均匀分布随机数生成器，在熵池耗尽 前可以高速生成随机数。该类在 C++11 定义，需要 random 头文件。由于熵池耗尽后性能急剧下降，所以建议用此方法生成 mt19937 等伪随机数的种子，而不是直接生成。

参考代码如下。

#include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <string>

int main() {
  std::random_device rd;
  std::map<int, int> hist;
  std::uniform_int_distribution<int> dist(0, 9);
  for (int n = 0; n < 20000; ++n) {
    ++hist[dist(rd)];  // 注意：仅用于演示：一旦熵池耗尽，
                       // 许多 random_device 实现的性能就急剧下滑
                       // 对于实践使用， random_device 通常仅用于
                       // 播种类似 mt19937 的伪随机数生成器
  }
  for (auto p : hist) {
    std::cout << p.first << " : " << std::string(p.second / 100, '*') << '\n';
  }
}

可能的输出如下。

0 : ********************
1 : *******************
2 : ********************
3 : ********************
4 : ********************
5 : *******************
6 : ********************
7 : ********************
8 : *******************
9 : ********************

阅读 cppreference 以获得更多信息。

其他实现方法¶

有的时候我们需要实现自己的随机数生成器。下面是一些常用的随机数生成方法。

线性同余随机数生成器¶

利用下式来生成随机数序列：

其中均为常数。

该方法实现难度低，但生成的随机序列周期长度较短（周期最大为，但大多数情况下都会比短）。

参考实现

#include <iostream>
using namespace std;
struct myrand {
  int A, B, P, x;
  myrand(int A, int B, int P) {
    this->A = A;
    this->B = B;
    this->P = P;
  }
  int next() { return x = (A * x + B) % P; }  // 生成随机序列的下一个随机数
};
myrand rnd(3, 5, 97);  // 初始化一个随机数生成器
int main() {
  int x = rnd.next();
  cout << x << endl;
  return 0;
}

时滞斐波那契随机数生成器¶

利用下式来生成随机数序列（其中）：

这里的通常取的幂（常用或），表示二元运算符，可以使用加法，减法，乘法，异或。

该方法较传统的线性同余随机数生成器而言，拥有更长的周期，但随机性受初始条件影响较大。